Berechnung der Planetenposition

Formeln zur Berechnung der Planetenposition

Unter Verwendung der gegebenen Bahnparameter kann man, ausgehend von diesem Datum, die Planetenposition bestimmen.

Zunächst berechnet man hier die mittlere Anomalie M. Dies ist mit folgender Formel sehr einfach:

IV. ¹⁴

Wobei t das aktuelle Julianische Datum und t0 der Zeitpunkt des letzten Periheldurchgangs ist.

Das spätere Programm wird die mittlere Anomalie nicht mehr explizit berechnen, sondern sie wird gegeben sein und sich nur noch um einen gewissen Anteil verändern.

Trotzdem muss man zu diesem Wert, den man aus dieser Formel wie auch aus dem Programm erhält, solange 2 π addieren bzw. subtrahieren, bis er im Bereich von 0 bis 2 π liegt.

Wenn man nun die mittlere Anomalie bestimmt hat, wird die exzentrische Anomalie über die Keplersche Gleichung berechnet.

Die Formel hierfür lautet:

V. ¹⁵

Hierbei tritt das Problem auf, dass sich diese Gleichung nur iterativ lösen lässt.

Dies ist über zwei Wege möglich. Entweder über die Fixpunktiteration mit folgender Formel

VI. ¹⁶

oder über das Newtonverfahren mit dieser Formel:

VII. ¹⁷

Bei beiden setzt man als Startwert und wiederholt das Verfahren so lange, bis ist.¹⁸

Ausgehend von der exzentrischen Anomalie, kann man aus ihr die wahre Anomalie und den Radius Sonne - Planet bestimmen.

Der Radius lässt sich über die einfache Gleichung

VIII. ¹⁹

berechnen.

Durch Umformen folgender Gleichung erhält man die wahre Anomalie.

IX. ²⁰

X.

Nun folgt als letzter Schritt die Reduktion auf die Ekliptik, d.h. die Umrechnung der heliozentrischen auf ekliptikale Koordinaten. Diese Umrechnung ergibt durch Addition des Arguments des Perihels ω und der wahren Anomalie V das Argument der Breite u.

XI. ²¹

Damit die Planeten auch grafisch am Computer dargestellt werden können, werden aus den bereits bekannten Daten, nämlich der Länge des aufsteigenden Knotens Ω und dem Winkel, zwischen der Bahnebene und der Ekliptik i die kartesischen Koordinaten berechnet.

Mit folgender Formel werden die ekliptikalen in kartesischen Koordinaten umgerechnet:

XII. ²²